দশম শ্রেণীর অঙ্ক প্রজেক্ট - এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

Question: দশম শ্রেণীর অঙ্ক প্রজেক্ট

বিষয়: এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

প্রজেক্টের সূচি:

১. ভূমিকা
২. একটি চলরাশি বলতে কি বোঝানো হয়েছে ?
৩. দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বোঝানো হয়েছে ?
৪. শ্রীধর আচার্য্য প্রণালী
৫. নিরূপক কি ?
৬. নিরূপক নিয়ে আলোচনা এবং বীজদ্বয়ের প্রকৃতি
৭. বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল নিয়ে সমীকরণ তৈরি করা
৮. উপসংহার

Answer: 

দশম শ্রেণীর অঙ্ক প্রজেক্ট

বিষয়: এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

সূচিপত্র:

১. ভূমিকা
২. একটি চলরাশি বলতে কি বোঝানো হয়েছে?
3. দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বোঝানো হয়েছে?
4. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি

• শ্রীধর আচার্য প্রণালী
• গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• সম্পূর্ণ বর্গ পদ্ধতি

5. নিরূপক (Discriminant) কি ?
6. নিরূপক নিয়ে আলোচনা এবং বীজদ্বয়ের প্রকৃতি
7. বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুণফল নিয়ে সমীকরণ তৈরি
8. দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব জীবনের প্রয়োগ
9. উপসংহার

---

১ | ভূমিকা

গণিতের বিভিন্ন শাখার মধ্যে বীজগণিত (Algebra) অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ। এর একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ হল দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা আমাদের দৈনন্দিন জীবনে বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার করি। যেমন, গাড়ির গতি নির্ধারণ, প্রকৌশল, ব্যবসায়িক গণনা, এবং পদার্থবিজ্ঞানে বিভিন্ন জটিল সমস্যার সমাধান করতে এই সমীকরণ ব্যবহৃত হয়।

---

২ | একটি চলরাশি বলতে কি বোঝানো হয়েছে ?

চলরাশি (Variable) হল এমন একটি সংখ্যা বা রাশি যার মান পরিবর্তিত হতে পারে। এটি সাধারণত x, y, z ইত্যাদি প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

এক চল বিশিষ্ট সমীকরণ হল এমন সমীকরণ যেখানে মাত্র একটি চলরাশি থাকে।

উদাহরণ:

$$x + 7 = 12$$

এখানে x হল চলরাশি, এবং এটি একটি এক চল বিশিষ্ট সমীকরণ।

---

৩ | দ্বিঘাত সমীকরণ বলতে কি বোঝানো হয়েছে?

দ্বিঘাত সমীকরণ হল এমন একটি গাণিতিক সমীকরণ যেখানে চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত (Power) ২ হয়।

এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

যেখানে,

• a, b, c বাস্তব সংখ্যা
• a ≠ 0 (কারণ a = 0 হলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ থাকবে না)

উদাহরণ:

$$2x^2 + 5x - 3 = 0$$

---

৪ | দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি

৪.১ | শ্রীধর আচার্য প্রণালী

শ্রীধর আচার্য সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়। সূত্রটি হলো—

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

উদাহরণ:
ধরা যাক, আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণ—

$$x^2 - 3x - 10 = 0$$

এখানে, a = 1, b = -3, c = -10

 প্রয়োগ করে,

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{3 \pm 7}{2}$$ $$x = \frac{3+7}{2} = 5, \quad x = \frac{3-7}{2} = -2$$

অর্থাৎ, সমাধান x = 5 অথবা x = -2।

---

৪.২ | গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি

যদি দ্বিঘাত সমীকরণকে দুটি গুণনীয়কে বিভক্ত করা যায়, তবে সহজেই সমাধান করা যায়।

উদাহরণ:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

এটি (x - 3)(x - 2) = 0 আকারে বিভক্ত করা যায়।
অতএব, x - 3 = 0 অথবা x - 2 = 0
ফলে, x = 3 অথবা x = 2

---

৫ | নিরূপক (Discriminant) কি ?

দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক হলো—

$$D = b^2 - 4ac$$

এটি আমাদের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। এটি মূলত বর্গমূলের নিচের অংশ।

---

৬ | নিরূপক নিয়ে আলোচনা এবং বীজদ্বয়ের প্রকৃতি

• $D > 0$ → দুটি বাস্তব ও পৃথক মূল থাকে।
• $D = 0$ → দুটি বাস্তব ও সমান মূল থাকে।
• $D < 0$ → দুটি কাল্পনিক (Imaginary) মূল থাকে।

উদাহরণ:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
এখানে, $D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0$
তাই, দুটি বাস্তব ও পৃথক মূল থাকবে।

---

৭ । বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুণফল ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি

যদি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় 𝛼 (alpha) ও 𝛽 (beta) হয়, তবে—

• মূলের সমষ্টি: $$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$
• মূলের গুণফল: $$\alpha \beta = \frac{c}{a}$$

দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরির সূত্র:

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$$

উদাহরণ:

ধরা যাক, 𝛼 = 3 এবং 𝛽 = 2।
তাহলে,

• মূলের সমষ্টি: $$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$$
• মূলের গুণফল: $$\alpha \beta = 3 \times 2 = 6$$

সুতরাং, দ্বিঘাত সমীকরণ হবে—

$${\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">x</span>}}^{\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">2</span>}}<span\; style="font-size:\; medium;">-</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">5</span>}\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">x</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">+</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">6</span>}<span\; style="font-size:\; medium;">=</span>\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;">0</span>}$$

---

•  দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

দ্বিঘাত সমীকরণ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন—

• গাড়ির গতি ও সময় নির্ণয়ে
• প্রকৌশল ও স্থাপত্যবিদ্যায়
• বিজ্ঞান গবেষণায় (Physics, Chemistry)
• বিনিয়োগ ও ব্যবসায়িক বিশ্লেষণে

---

৮ | উপসংহার

এক চল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এটি বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়। শ্রীধর আচার্যের সূত্রের মাধ্যমে আমরা সহজেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয় করতে পারি। নিরূপকের মানের মাধ্যমে আমরা মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করতে পারি। এই প্রজেক্টে আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ দিক বিশ্লেষণ করেছি, যা শিক্ষার্থীদের গণিতের প্রতি আগ্রহ বাড়াতে সহায়ক হবে।

---

✅ এইভাবে বিস্তারিতভাবে প্রজেক্ট রিপোর্ট লিখলে এটি সুন্দর ও গোছানো হবে।  তোমাদের শিক্ষক শিক্ষিকার প্রয়োজন মতো আরো কিছু অবশ্যই জুড়তে পারো।

Additional Information :

✅✅ WBBSE SCHOOLS

Best Of Luck

If you find this content helpful, consider supporting us by clicking on any of the ads on this page.

Mock Test Click Here

Madhyamik Previous Year Solution Click Here

CBSE Class 10 History Notes Click Here

You Can Translate It In Your Language: